BANDUL

BANDUL

Ketika sebuah partikel bermassa m ditempatkan pada suatu titik dimana medan gravitasinya adalah g, partikel tersebut mengalami gaya F_g = mg. dengan kata lain, medan tersebut memberikan sebuah gaya pada partikel tersebut. Medan gravitasi g didefinisikan sebagai

Artinya, medan gravitasi pada sebuah titik di suatu ruang yang sama sama dengan gaya gravitasi yang dialami sebuah partikel uji yang ditempatkan pada titik tersebut dibagi oleh massa partikel uji tersebut. Walaupun gaya gravitasi secara inheren merupakan interaksi antara dua benda, konsep medan gravitasi memungkinkan untuk mengabaikan massa salah satu benda tersebut (Serway, 2009).

Jika kita menganggap Bumi sebagai benda berbentuk bola simetris dengan jari-jari R_B dan massa m_B, berat w dari benda kecil bermassa m pada permukaan Bumi (berjarak R_B dari pusatnya) adalah

Tetapi juga diketahui bahwa berat w dari sebuah beda adalah gaya yang menyebabkan percepatan g dari benda jatuh bebas, jadi dengan hukum kedua Newton, w=mg. menyamakan ini dengan persamaan diatas dan membaginya dengan m, kita dapatkan

Besar percepatan gravitasi di Bumi dengan G = 6,67259 x 10^-11 N.m²/kg², massa Bumi  m_B = 5,974 x 10²⁴ kg menurut Cavendish, dan jari-jari Bumi R_B = 6380 km= 6,38 x 10⁶ m. Diperoleh nilai g = 9,7930574 m/s² dan jika dibulatkan 9,80 m/s² (Young, 2002).

Sebuah benda yang massanya dianggap sebagai suatu partikel yang terletak di pusat massanya, diikat dan digantung dengan tali lentur pada sebuah titik tetap. Bila benda itu diberi simpangan awal sehingga tali membentuk sudut yang cukup kecil terhadap arah vertikal dan kemudian benda dilepaskan, maka benda akan berayun disekitar titik setimbangnya pada sebuah bidang datar vertikal dengan frekuensi tetap. Sistem yang demikian itu disebut bandul sederhana atau bandul matematis (Herman, 2014).

Bandul sederhana adalah sistem mekanik lain yang menunjukkan gerak periodik. Bandul tediri atas cakram yang menyerupai partikel bermassa m yang digantungkan pada seutas tali ringan dengan panjang L yang bagian atasnya tidak bergerak (dikatakan ke suatu titik). Gerak terjadi pada bidang vertikal dan disebabkan oleh gaya gravitasi. Kita akan menunjukkan bahwa saat sudut  kecil (kurang dari  10 derat), gerak yang terjadi sangat mirip dengan gerak osilator harmonik sederhana (Serway, 2009).

Sebuah pendulum sederhana merupakan model yang disempurnakan yang terdiri dari sebuah massa titik yang ditahan oleh benang kaku tak bermassa. Jika massa titik ditarik pada salah satu sisi dari posisi kesetimbangannya dan dilepaskan, massa tersebut akan berisolasi di sekitar posisi kesetimbangannya. (Young, 2002)

Bandul sederhana adalah benda ideal yang terdiri dari sebuah titik massa, yang digantungkan pada tali ringan yang tidak dapat mulur. Jika bandul ditarik ke samping dari posisi seimbangnya dan dilepaskan, maka bandul akan berayun dalam bidang vertikal karena pengaruh gravitasi. Geraknya merupakan gerak osilasi dan periodik (Giancoli, 2001).

Menurut Serway (2009), gaya-gaya yang bekerja pada cakram adalah gaya T yang dihasilkan oleh tali dan gaya gravitasi mg. Komponen tangensial dari gaya gravitasi, mg sin θ, selalu bekerja ke arah θ = 0 , berlawanan arah dengan perpindahan bola bandulnya dari posisi terendah. Oleh karena itu, komponen tangensialnnya adalah gaya pemulih , dan kita dapat menerapkan Hukum Newtonn II untuk gerakan dalam arah tangensialnya :

dimana s adalah posisi bola bandul yang diukur sepanjang busurnya dan tanda negatif menunjukkan bahwa gaya tangensialnyaa bekerja ke arah posisi setimbang (vertikal). Oleh karena s = Lθ dan L konstan, persamaan ini dapat disederhanakann menjadi

Menurut Serway (2009), gerak osilasi dengan amplitudo yang kecil adalah gerak harmonik sederhana. Oleh karena itu, fungsi  dapat ditulis sebagai  adalah posisi sudut maksimum dan frekuensi sudut adalah  sehingga periode geraknya adalah

dengan            T  = periode osilasi batang(s)

                 l  = panjang batang (cm)

                 g = percepatan gravitasi bumi (m/s²)

Dengan kata lain, periode dan frekuensi bandul hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan yang diakibatkan oleh gravitasi. Oleh karena periode tidak bergantung pada massa, maka kita simpulkan bahwa semua bandul sederhana dengan panjang yang sama dan berada pada lokasi yang sama (sehingga g konstan) akan berosilasi dengan periode yang sama pula (Serway, 2009).

Sebuah pendulum sederhana, atau suatu variasinya juga merupakan alat yang tepat dan meyakinkan untuk pengukuran percepatan gravitasi g, karena L dan T dapat diukur dengan mudah dan tepat. Pengukuran-pengukuran seperti itu sering digunakan dalam geofisika. (Young, 2002)

Menurut Young (2002), suatu pendulum fisik adalah sembarang pendulum nyata, menggunakan suatu benda dengan ukuran terhingga, kontras dengan model idealisasi dari pendulum sederhana dengan semua massanya terkonsentrasi pada satu titik tunggal. Pada bandul fisis frekuensi sudut diberikan oleh

Frekuensi f adalah 1/2π kali ini, dan periode T adalah

Gambar 5.2.  Bandul fisis

pusat massa batang

Menurut Herman (2014), untuk bandul fisis dapat dituliskan berdasarkan Hukum Newton yaitu

karena I adalah momen inersia batang yang diputar diujung bandul, dengan , sehingga akan diperoleh:

dengan            T  = periode osilasi batang(s)

                 l  = panjang batang (cm)

                 g = percepatan gravitasi bumi (m/s²)

Teori Singkat

Ketika sebuah partikel bermassa m ditempatkan pada suatu titik dimana medan gravitasinya adalah g, partikel tersebut mengalami gaya F_g = mg. dengan kata lain, medan tersebut memberikan sebuah gaya pada partikel tersebut. Medan gravitasi g didefinisikan sebagai

Artinya, medan gravitasi pada sebuah titik di suatu ruang yang sama sama dengan gaya gravitasi yang dialami sebuah partikel uji yang ditempatkan pada titik tersebut dibagi oleh massa partikel uji tersebut. Walaupun gaya gravitasi secara inheren merupakan interaksi antara dua benda, konsep medan gravitasi memungkinkan untuk mengabaikan massa salah satu benda tersebut (Serway, 2009).

Jika kita menganggap Bumi sebagai benda berbentuk bola simetris dengan jari-jari R_B dan massa m_B, berat w dari benda kecil bermassa m pada permukaan Bumi (berjarak R_B dari pusatnya) adalah

Tetapi juga diketahui bahwa berat w dari sebuah beda adalah gaya yang menyebabkan percepatan g dari benda jatuh bebas, jadi dengan hukum kedua Newton, w=mg. menyamakan ini dengan persamaan diatas dan membaginya dengan m, kita dapatkan

Besar percepatan gravitasi di Bumi dengan G = 6,67259 x 10^-11 N.m²/kg², massa Bumi  m_B = 5,974 x 10²⁴ kg menurut Cavendish, dan jari-jari Bumi R_B = 6380 km= 6,38 x 10⁶ m. Diperoleh nilai g = 9,7930574 m/s² dan jika dibulatkan 9,80 m/s² (Young, 2002).

Sebuah benda yang massanya dianggap sebagai suatu partikel yang terletak di pusat massanya, diikat dan digantung dengan tali lentur pada sebuah titik tetap. Bila benda itu diberi simpangan awal sehingga tali membentuk sudut yang cukup kecil terhadap arah vertikal dan kemudian benda dilepaskan, maka benda akan berayun disekitar titik setimbangnya pada sebuah bidang datar vertikal dengan frekuensi tetap. Sistem yang demikian itu disebut bandul sederhana atau bandul matematis (Herman, 2014).

Bandul sederhana adalah sistem mekanik lain yang menunjukkan gerak periodik. Bandul tediri atas cakram yang menyerupai partikel bermassa m yang digantungkan pada seutas tali ringan dengan panjang L yang bagian atasnya tidak bergerak (dikatakan ke suatu titik). Gerak terjadi pada bidang vertikal dan disebabkan oleh gaya gravitasi. Kita akan menunjukkan bahwa saat sudut  kecil (kurang dari  10 derat), gerak yang terjadi sangat mirip dengan gerak osilator harmonik sederhana (Serway, 2009).

Sebuah pendulum sederhana merupakan model yang disempurnakan yang terdiri dari sebuah massa titik yang ditahan oleh benang kaku tak bermassa. Jika massa titik ditarik pada salah satu sisi dari posisi kesetimbangannya dan dilepaskan, massa tersebut akan berisolasi di sekitar posisi kesetimbangannya. (Young, 2002)

Bandul sederhana adalah benda ideal yang terdiri dari sebuah titik massa, yang digantungkan pada tali ringan yang tidak dapat mulur. Jika bandul ditarik ke samping dari posisi seimbangnya dan dilepaskan, maka bandul akan berayun dalam bidang vertikal karena pengaruh gravitasi. Geraknya merupakan gerak osilasi dan periodik (Giancoli, 2001).

Menurut Serway (2009), gaya-gaya yang bekerja pada cakram adalah gaya T yang dihasilkan oleh tali dan gaya gravitasi mg. Komponen tangensial dari gaya gravitasi, mg sin θ, selalu bekerja ke arah θ = 0 , berlawanan arah dengan perpindahan bola bandulnya dari posisi terendah. Oleh karena itu, komponen tangensialnnya adalah gaya pemulih , dan kita dapat menerapkan Hukum Newtonn II untuk gerakan dalam arah tangensialnya :

dimana s adalah posisi bola bandul yang diukur sepanjang busurnya dan tanda negatif menunjukkan bahwa gaya tangensialnyaa bekerja ke arah posisi setimbang (vertikal). Oleh karena s = Lθ dan L konstan, persamaan ini dapat disederhanakann menjadi

Menurut Serway (2009), gerak osilasi dengan amplitudo yang kecil adalah gerak harmonik sederhana. Oleh karena itu, fungsi  dapat ditulis sebagai  adalah posisi sudut maksimum dan frekuensi sudut adalah  sehingga periode geraknya adalah

dengan            T  = periode osilasi batang(s)

                 l  = panjang batang (cm)

                 g = percepatan gravitasi bumi (m/s²)

Dengan kata lain, periode dan frekuensi bandul hanya bergantung pada panjang tali dan percepatan yang diakibatkan oleh gravitasi. Oleh karena periode tidak bergantung pada massa, maka kita simpulkan bahwa semua bandul sederhana dengan panjang yang sama dan berada pada lokasi yang sama (sehingga g konstan) akan berosilasi dengan periode yang sama pula (Serway, 2009).

Sebuah pendulum sederhana, atau suatu variasinya juga merupakan alat yang tepat dan meyakinkan untuk pengukuran percepatan gravitasi g, karena L dan T dapat diukur dengan mudah dan tepat. Pengukuran-pengukuran seperti itu sering digunakan dalam geofisika. (Young, 2002)

Menurut Young (2002), suatu pendulum fisik adalah sembarang pendulum nyata, menggunakan suatu benda dengan ukuran terhingga, kontras dengan model idealisasi dari pendulum sederhana dengan semua massanya terkonsentrasi pada satu titik tunggal. Pada bandul fisis frekuensi sudut diberikan oleh

Frekuensi f adalah 1/2π kali ini, dan periode T adalah

Gambar 5.2.  Bandul fisis

pusat massa batang

Menurut Herman (2014), untuk bandul fisis dapat dituliskan berdasarkan Hukum Newton yaitu

karena I adalah momen inersia batang yang diputar diujung bandul, dengan , sehingga akan diperoleh:

dengan            T  = periode osilasi batang(s)

                 l  = panjang batang (cm)

                 g = percepatan gravitasi bumi (m/s²)

Pusat Massa

Menentukan Titik Pusat Masa

Jika kita memiliki sebuah sistem yang terdiri atas 2 massa, massa 1 di titik x₁ dan massa 2 ditik x₂ . Pusat massa sistem terletak di titik tengah.

Sistem yang terdiri dari 2 massa, jika m₁ = m₂ maka pusat massa terletak di tengah-tengah

Bila sistem terdiri atas banyak benda bermassa maka pusat massa sistem adalah:

Begitu juga komponen ke arah sumbu y dan z

Sistem terdiri dari 4 massa

Sistem yang terdiri dari 4 massa seperti pada gambar diatas, masing-masing :

m₁ pada posisi (x₁, y₁, z₁)
m₂ pada posisi (x₂, y₂, z₂)
m₃ pada posisi (x₃, y₃, z₃)
m₄ pada posisi (x₄, y₄, z₄)

Pusat massa sistem dapat dicari dengan persamaan x_pm,y_pm dan z_pm diatas.

Jika sistem kita adalah sistem yang kontinu, misalkan sebuah balok, di manakah titik pusat massa balok? Kita dapat membagi menjadi bagian yang kecil-kecil yang tiap bagiannya bermassa dm. Σ akan berubah menjadi integral. Pusat massa sistem adalah

Menentukan Pusat Masa Benda Tegar

Sekarang kita bisa menganggap gerak sebuah benda tegar bermassa M sebagai gerak partikel bermassa M. Pusat massa benda bergerak seperti partikel, artinya tidak mengalami rotasi. Pusat massa sistem bergerak seolah-olah seluruh massa sistem dipusatkan pada titik pusat massa benda itu.

Apakah benda tegar itu? Benda tegar adalah benda yang saat bergerak jarak antartitiknya tidak berubah. Misalnya sepotong kayu padat. Jika misalnya kita melempar suatu benda ke atas, lalu benda tadi berubah bentuk, maka benda itu bukan benda tegar. Kita akan mempelajari rotasi pada benda tegar.

Sebuah benda tegar yang memiliki kerapatan sama di semua bagian benda, titik pusat massanya terletak di tengahtengah benda itu. Misalnya pusat massa sebuah bola terletak di titik pusat bola dan di tengah-tengah bola. Kita bisa mencari pusat massa suatu benda dengan cara menggantungkan benda pada titik-titik yang berbeda. Misalkan benda kita berbentuk segitiga. Gantung segitiga pada titik sudut A, lalu buatlah garis vertikal dari A. Kemudian gantung pada titik B, lalu tarik garis vertikal. Garis vertikal pertama akan bertemu dengan garis vertikal yang kedua. Pusat massa benda terletak pada titik potong kedua garis vertikal tersebut. Kita bisa melakukan hal yang sama untuk benda-benda yang bentuk tidak beraturan.

Titik Berat

Selain titik pusat massa kita mengenal titik pusat berat. Samakah titik
pusat massa dengan titik pusat berat? Titik pusat berat akan berimpit dengan titik pusat massa bila percepatan gravitasi pada semua titik pada benda itu sama. .

Tiap elemen massa dm akan memiliki berat W =gdm. Total gaya berat
bisa kita anggap berpusat pada suatu titik X_G. X_G kita sebut sebagai titik berat.

Bila g yang bekerja pada tiap dm sama maka

sehingga titik berat maka berimpit dengan titik pusat massa.

LETAK/POSISI TITIK BERAT

1.      Terletak pada perpotongan diagonal ruang untuk benda homogen berbentuk teratur.

2.      Terletak pada perpotongan kedua garis vertikal untuk benda sembarang.

3.      Bisa terletak di dalam atau diluar bendanya tergantung pada homogenitas dan bentuknya.